Saidakhmat N. Lakaev
Samarkand, 140104; Tashkent
Saidakbar Kh. Abdukhakimov
Samarkand, 140104; Tashkent
Adkham B. Khasanov
Samarkand State University
We study the Schrödinger operators Hλµ(K) that model a two-fermion system on the threedimensional lattice Z3, where total quasimomentum is fixed at K ∈ T3, and the particles interact through nearest- and next-nearest-neighbor couplings with strengths λ, µ ∈ R. For K = 0, we establish that Hλµ(0) admits reducing invariant subspace whose restriction depends solely on the parameter µ ∈ R. This µ parameter line contains two critical points corresponding to the lower and upper spectral thresholds; at each of these points, the Fredholm determinant of the restricted operator vanishes. Each of these critical points divides the parameter line into two infinite intervals, where the number of eigenvalues lying below (or above) the essential spectrum remains constant. Depending on µ, the corresponding reduced operator has exactly one discrete eigenvalue, located either below the bottom or above the top of the essential spectrum. Moreover, we derive a lower bound on the number of discrete eigenvalues of Hλµ(K) for all K ∈ T3.
Мы исследуем операторы Шрёдингера Hλµ(K), ассоциированные с двухфермионной системой на трёхмерной решётке T3 при фиксированном полном квазиимпульсе K ∈ T3, где частицы взаимодействуют посредством связей с ближайшими и вторыми ближайшими узлами с константами взаимодействия λ, µ ∈ R. Для случая K = 0 установлено, что оператор Hλµ(0) допускает приведённое инвариантное подпространство, ограничение на которое зависит только от параметра µ ∈ R. Показано, что µ-параметрическая прямая содержит две критические точки, соответствующие нижнему и верхнему порогам спектра; в каждой из этих точек определитель Фредгольма приведённого оператора обращается в нуль. Каждая из критических точек разбивает параметрическую прямую на два бесконечных интервала, на которых число собственных значений, расположенных ниже (соответственно, выше) существенного спектра, остаётся постоянным. В зависимости от значения параметра µ соответствующий приведённый оператор имеет ровно одно дискретное собственное значение, расположенное либо ниже нижней границы, либо выше верхней границы существенного спектра. Кроме того, получена нижняя оценка на число дискретных собственных значений оператора Hλµ(K) для всех K ∈ T3.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.