Мы изучаем трёхчастичные операторы Шрёдингера на двумерной решётке Z2 и показываем, что критическое отношение масс γc ≈ 2.75194 определяет существование связанного тримера в фермионной 2+1 конфигурации (два тождественных фермиона и третья частица). При γ < γc имеется топологическое запрещение (подавление Паули) трёхчастичного связанного состояния, тогда как при γ < γc возникает дважды вырожденное собственное значение ниже существенного спектра с асимптотикой сильной связи z(γ, λ) = −λ+e0(γ)+O(λ−1). В рамках единого подхода, основанного на принципе Бирмана–Швингера и асимптотическом анализе в режиме сильной связи, мы сравниваем это поведение с бозонным случаем трёх тождественных частиц, где два связанных состояния существуют ниже существенного спектра и энергия основного состояния удовлетворяет z1s(µ) = −3µ + C2 + O(µ−1). Возникающий фазовый переход второго рода по отношению масс  важен для планирования экспериментов по фермионным тримерам в оптических решётках и для моделирования экситонных комплексов и дефектно-связанных состояний в двумерных наноматериалах, где критическое значение γc служит ориентиром для наблюдаемости трёхчастичных связанных состояний. Мы также намечаем модифицированную трёхчастичную решёточную модель с двумя конкурирующими каналами взаимодействия, для которой анализ Бирмана–Швингера естественным образом приводит к сценарию Ландау фазового перехода первого рода в пространстве тримерных связанных состояний. В бозонном случае мы доказываем теорему о сильной связи, описывающую существование и асимптотику тримерных связанных состояний, а в фермионном 2+1 случае устанавливаем теорему о спектральном фазовом переходе, которая даёт явное критическое отношение масс γc, разделяющее тримерный и бестримерный режимы.