Shukhrat S. Lakaev
Tashkent
We study a two-channel lattice Hamiltonian in a fixed particle-number sector on the one-dimensional lattice Z. The model consists of a molecular channel coupled to a bosonic two-particle channel with on-site interaction. In the momentum representation, translation invariance yields a family of reduced Hamiltonians Hγ,λ(K) parametrized by total quasi-momentum K∈T, each acting in C⊕L2,e(T).
For contact interactions, each reduced Hamiltonian is a rank-two perturbation of the free diagonal operator. By means of the Lippmann–Schwinger method, the eigenvalue problem for energies outside the essential spectrum [Ԑ-K, Ԑ+K] is reduced to a 2×2 linear system and, equivalently, to the vanishing of an explicit scalar Fredholm determinant involving the one-dimensional lattice Green function. The square-root singularities of this Green function at the band edges E±K etermine the threshold asymptotics of the determinant and lead to explicit criteria for the existence of eigenvalues below the lower threshold and above the upper threshold.
We obtain a complete classification of the discrete spectrum of Hγ,λ(K) for all quasi-momenta in terms of the parameters γ, λ, and E0. We also analyze the threshold configurations E0 =Ԑ±K, the exceptional flat-band fiber K=π, where the essential spectrum collapses to a single point, and the threshold states of the auxiliary rank-one operator hλ(K). For the latter, we provide a weighted-space description of threshold resonances, clarifying how an eigenvalue emerges from a threshold resonance of hλ(K) and approaches a band edge when the interchannel coupling is switched on.
Мы изучаем двухканальный решеточный гамильтониан в секторе с фиксированным числом частиц на одномерной решетке Z. Модель состоит из молекулярного канала, связанного с бозонным двухчастичным каналом с внутриузловым взаимодействием. В импульсном представлении трансляционная инвариантность дает семейство редуцированных гамильтонианов Hγ,λ(K), параметризованных полным квазиимпульсом K∈T, каждый из которых действует в C⊕L2,e(T). Для контактных взаимодействий каждый редуцированный гамильтониан является возмущением второго ранга свободного диагонального оператора. С помощью метода Липпмана–Швингера задача на собственные значения для энергий вне существенного спектра [Ԑ-K, Ԑ+K] сводится к линейной системе 2×2 и, эквивалентно, к обращению в нуль точного скалярного детерминанта Фредгольма, включающего одномерную решеточную функцию Грина. Сингулярности квадратного корня этой функции Грина на краях зоны Ԑ-K, Ԑ+K определяют пороговую асимптотику определителя и приводят к явным критериям существования собственных значений ниже нижнего порога и выше верхнего порога. Мы получаем полную классификацию дискретного спектра Hγ,λ(K) для всех квазиимпульсов в терминах параметров γ, λ, E0. Мы также анализируем пороговые конфигурации E0=Ԑ+K , исключительную плоскую зону слоя K = π, где существенный спектр схлопывается в одну точку, и пороговые состояния вспомогательного оператора ранга один hλ(K). Для последнего мы приводим описание пороговых резонансов во взвешенном пространстве, поясняя, как собственное значение возникает из порогового резонанса hλ(K) и приближается к краю полосы, когда включается межканальная связь.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.