Saidakhmat N. Lakaev
140104, Samarkand
Mukhayyo O. Akhmadova
140104, Samarkand
Shakhnoza B. Akhmatova
140104, Samarkand
We study a family of lattice Schrödinger operators Hµ(K), describing two identical bosons on the one-dimensional lattice Z, where K ∈ T is the quasi-momentum. The interaction is described by the coupling vector µ = (µ1, µ2, µ3), where µ1 acts at the origin and µ2, µ3 at the sites |x| = 1.2. In this paper, we focus on the zero quasi-momentum fiber Hµ(0), whose essential spectrum is the interval [0, 8], while discrete eigenvalues may occur both below 0 and above 8.
Using the Fredholm determinant, we derive explicit threshold polynomials whose zero sets:
Γ± := {µ ∈ R3: C±(µ) = 0}
define three critical surfaces in R3. These surfaces partition the parameter space into regions with constant eigenvalue counts and identify exactly the parameter values at which eigenvalues emerge from, or are absorbed into, the thresholds 0 and 8.
A central result of this work is the complete geometric classification of the spectral configuration sets S = (n−, n+). We show that the (µ2, µ3)-plane is partitioned into domains D±, which strictly govern the range of the spectral counting functions. We prove that the parameter µ3 acts as a global phase controller: the critical values µ3 = ±2 separate qualitatively different spectral regimes, determining the set of all attainable configurations under the global rank-three constraint.
Finally, we extend our analysis to K ≠ 0 and demonstrate that the discrete spectrum is preserved for all quasi-momenta whenever |µ3| > 2.
Мы изучаем семейство решеточных операторов Шредингера Hµ(K), , описывающих два одинаковых бозона на одномерной решетке Z, где - K ∈ T квазиимпульс. Взаимодействие описывается вектором связи µ = (µ1, µ2, µ3), где µ1 действует в начале координат, а µ2, µ3 в узлах |x| = 1.2. В статье мы фокусируемся на нулевом слое квазимомента Hµ(0), где существенным спектром является отрезок [0,8], в то время как дискретные собственные значения могут быть больше 8 и ниже 0.
Используя определитель Фредгольма, мы выводим точный полином, чье нулевое множество
Γ± := {µ ∈ R3: C±(µ) = 0}
определяет три критические поверхности в R3. Эти поверхности разбивают пространство параметров на области с постоянных количеством собственных значений и определяют значения параметров, при которых собственные значения входят или выходят из границ 0 и 8.
Основной результат работы - полная геометрическая классификация множества спектральных конфигураций S = (n−, n+). Мы показываем, что (µ2, µ3) - плоскость разделяется на области D±, которые строго управляют областью значений спектральной функции. Мы доказываем, что параметр µ3 действует как глобальный фазовый контроллер: критические значения µ3 = ±2 разделяют качественно разные спектральные режимы, определяя множество всех возможных конфигураций при общем ограничении на ранг, равный 3.
В заключение мы расширяем результаты на K ≠ 0 и демонстрируем, что дискретный спектр сохраняется для всех квазимоментов при |µ3| > 2.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.