Поверхности умбиликов как надежный метод топологического анализа трехмерных солитонов в холестерических жидких кристаллах

Метод, основанный на умбиликах, которые выявляют линейную структуру сложного распределения полей директора, используется для введения поверхностей умбилика в качестве численно надежного зонда трехмерных (3D) топологических солитонов в фрустрированных холестерических жидких кристаллах. Мы представляем не зависящую от координат аналитическую формулировку подхода с использованием линий умбилика, которая обеспечивает надежное обнаружение умбиликов на дискретных сетках моделирования и, таким образом, позволяет избежать проблем, вызванных нестабильностью и чувствительностью к выбору координатной системы. В рамках используемого метода можно ввести фазовое поле с лабораторной привязкой, которое предоставляет естественный инструмент для интуитивной раскраски поверхности. Кроме того, это поле используется для определения двух фундаментальных целочисленных инвариантов петель умбилика: поперечного индекса и продольного закручивания. Эти инварианты напрямую связывают геометрию умбилика со стандартными топологическими характеристиками поля директора, позволяя напрямую идентифицировать и сравнивать солитоны по их топологическому содержанию. Мы применяем эту методику к трем каноническим солитонам, полученным путем минимизации свободной энергии: торону и петлеобразным холестерическим пальцам первого и второго типов с индексами Хопфа, равными нулю и единице соответственно. Показано, что анализ поверхности умбилика четко выявляет дефектные структуры, позволяет различить визуально похожие, но топологически различные текстуры, и предоставляет удобный инструмент для количественной оценки и визуализации 3D-солитонов на основе данных о поле директора.

1. Kleman M., Lavrentovich O.D. Soft matter physics: an introduction. Springer, New York, 2003.

2. Chen B.G.G., Ackerman P.J., Alexander G.P., Kamien R.D., Smalyukh I.I. Generating the Hopf fibration experimentally in nematic liquid crystals. Phys. Rev. Lett., 2013, 110, P. 237801.

3. Ackerman P.J., Smalyukh I.I. Diversity of knot solitons in liquid crystals manifested by linking of preimages in torons and hopfions. Phys. Rev. X, 2017, 7, P. 011006.

4. Oswald P., Baudry J., Pirkl S. Static and properties of cholesteric fingers in electric field. Physics Reports, 2000, 337, P. 67.

5. Ackerman P.J., Trivedi R. P., Senyuk B., van de Lagemaat J., Smalyukh I.I. Two-dimensional skyrmions and other soliton structures in confinementfrustrated chiral nematics. Phys. Rev. E, 2014, 90, P. 012505.

6. Afghah S., Selinger J.V. Theory of helicoids and skyrmions in confined cholesteric liquid crystals. Phys. Rev. E, 2017, 96, P. 012708.

7. Durey G., Sohn H.R.O., Ackerman P.J., Brasselet E., Smalyukh I.I., Lopez-Leon T. Topological solitons, cholesteric fingers and singular defect lines in Janus liquid crystal shells. Soft Matter, 2020, 16(11), P. 2669–2682.

8. Smalyukh I.I. Knots and other new topological effects in liquid crystals and colloids, Rep. Prog. Phys., 2020, 83, P. 106601.

9. Wu J.-S., Smalyukh I.I. Hopfions, heliknotons, skyrmions, torons and both abelian and nonabelian vortices in chiral liquid crystals. Liquid Crystals Reviews, 2022, 10(1-2), P. 34.

10. Tambovtsev I.M., Leonov A.O., Lobanov I.S., Kiselev A.D., Uzdin V.M. Topological structures in chiral media: effects of confined geometry. Phys. Rev. E, 2022, 105, P. 034701.

11. Hamdi R., Petriashvili G., Lombardo G., De Santo M.P., Barberi R. Liquid crystal bubbles forming a tunable micro-lenses array. J. Appl. Phys., 2011, 110, P. 074902.

12. Yang B., Brasselet E. Arbitrary vortex arrays realized from optical winding of frustrated chiral liquid crystals. J. Opt., 2013, 15, P. 044021.

13. Hess A.J., Poy G., Tai J.S.B., ˇ Zumer S., Smalyukh I.I. Control of light by topological solitons in soft chiral birefringent media. Phys. Rev. X, 2020, 10, P. 031042.

14. Ackerman P.J., Qi Z., Smalyukh I.I. Optical generation of crystalline, quasicrystalline, and arbitrary arrays of torons in confined cholesteric liquid crystals for patterning of optical vortices in laser beams. Phys. Rev. E, 2012, 86, P. 021703.

15. Nagaosa N., Tokura Y., Topological properties and dynamics of magnetic skyrmions. Nat. Nanotechnol., 2013, 8, P. 899–911.

16. Lobanov I.S., Uzdin V.M. Lifetime, collapse, and escape paths for hopfions in bulk magnets with competing exchange interactions. Phys. Rev. B, 2023, 107, P. 104405.

17. Chichay K.A., Lobanov I.S., Uzdin V.M. The structure of magnetic domain walls in cylindrical nano- and microwires with inhomogeneous anisotropy. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2024, 15(1), P. 55–59.

18. Chichay K.A., Lobanov I.S., Uzdin V.M. Magnetic structure of domain walls in stressed cylindrical wires. Nanosystems: Phys. Chem. Math.., 2025, 16(3), P. 325–332.

19. Machon T., Alexander G.P. Umbilic lines in orientational order. Phys. Rev. X, 2016, 6(1), P. 011033.

20. Selinger J.V. Interpretation of saddle-splay and the Oseen-Frank free energy in liquid crystals. Liquid Crystals Reviews, 2018, 6(2), P. 129.

21. Tai J.-S.B., Ackerman P.J., Smalyukh I.I. Topological transformations of Hopf solitons in chiral ferromagnets and liquid crystals. Proc. Natl. Acad. Sci., 2018, 115(5), P. 921–926.

22. Tai J.-S.B., Wu J.-S., Smalyukh I.I. Geometric transformation and three-dimensional hopping of Hopf solitons. Nat. Commun., 2022, 13(1), P. 2986.

23. Foster D., Kind C., Ackerman P.J., Tai J.-S.B., Dennis M.R., Smalyukh I.I. Two-dimensional skyrmion bags in liquid crystals and ferromagnets. Nat. Phys., 2019, 15 (7), P. 655–659.

24. Varanytsia A., Posnjak G., Mur U., Joshi V., Darrah K., Musˇevicˇ I., Cˇ opar S., Chien L.-C. Topology-commanded optical properties of bistable electric-field-induced torons in cholesteric bubble domains. Sci. Rep., 2017, 7(1), P. 16149.

25. Pirkl S., Ribi`ere P., Oswald P. Forming process and stability of bubble domains in dielectrically positive cholesteric liquid crystals. Liq. Cryst., 1993, 13 (3), P. 413–425.

26. Trivedi R.P., Lee T., Bertness K.A., Smalyukh I.I. Three dimensional optical manipulation and structural imaging of soft materials by use of laser tweezers and multimodal nonlinear microscopy. Opt. Express, 2010, 18, P. 27658–27669.

27. Shen Y., Dierking I. Electrically driven formation and dynamics of skyrmionic solitons in chiral nematics. Phys. Rev. Appl., 2021, 15, P. 054023.

28. de Gennes P.G., Prost J. The Physics of Liquid Crystals. Clarendon Press, Oxford, 1993.

29. Ravnik M., ˇ Zumer S. Landau-de Gennes modelling of nematic liquid crystal colloids. Liq. Cryst., 2009, 36, P. 1201–1214.

30. LCSim, 2021–2026, https://gitlab.com/alepoydes/lcsim.

31. Pollard J., Posnjak G., Cˇ opar S., Musˇevicˇ I. and Alexander G.P. Point defects, topological chirality, and singularity theory in cholesteric liquidcrystal droplets. Phys. Rev. X, 2019, 9, P. 021004.

32. Lobanov I., Aksenova E., Orlova T., Darmoroz D., Uzdin V., Kiselev A.D. Optical imaging and analytical design of localized topological structures in chiral liquid crystals. Symmetry, 2022, 14(12), P. 2476.

33. Shvetsov S.A., Darmoroz D.D., Vasil’ev A., Orlova T., Lobanov I.S., Rafayelyan M. Light-induced isotropic pen for generation of topological solitons and hopfion–toron transition in frustrated chiral nematic films. Chaos, Solitons & Fractals, 2025, 199(3), P. 116905.

34. Str¨omer J.F., Raynes E.P. Study of elastic constant ratios in nematic liquid crystals. Appl. Phys. Lett., 2006, 88, P. 051915.

35. Bennett T., Proctor M., Kaczmarek M., D’Alessandro G. Lifting degeneracy in nematic liquid crystal viscosities with a single optical measurement. J. Colloid Interface Sci., 2017, 497, P. 201–206.