Полная геометрическая классификация спектральных конфигураций для двухчастичного оператора Шредингера на Z с взаимодействием ранга три

Мы изучаем семейство  решеточных операторов Шредингера H_µ(K), , описывающих два одинаковых бозона на одномерной решетке Z, где - K ∈ T квазиимпульс. Взаимодействие описывается вектором связи µ = (µ₁, µ₂, µ_3), где  µ₁ действует в начале координат, а µ₂, µ₃  в узлах |x| = 1.2. В статье мы фокусируемся на нулевом слое квазимомента H_µ(0), где существенным спектром является отрезок [0,8], в то время как дискретные собственные значения могут быть больше 8 и ниже 0.

Используя определитель Фредгольма, мы выводим точный полином, чье нулевое множество 

Γ^± := {µ ∈ R³: C^±(µ) = 0}

определяет три критические поверхности в R³. Эти поверхности разбивают пространство параметров на области с постоянных количеством собственных значений и определяют значения параметров, при которых собственные значения входят или выходят из границ 0 и 8.

Основной результат работы - полная геометрическая классификация множества спектральных конфигураций S = (n₋, n₊). Мы показываем, что (µ₂, µ₃) - плоскость разделяется на области D^±, которые строго управляют областью значений спектральной функции. Мы доказываем, что параметр µ₃ действует как глобальный фазовый контроллер: критические значения µ₃  = ±2  разделяют качественно разные спектральные режимы, определяя множество всех возможных конфигураций при общем ограничении на ранг, равный 3.

 В заключение мы расширяем результаты на K ≠ 0  и демонстрируем, что дискретный спектр сохраняется для всех квазимоментов при |µ₃| > 2.

1. Mattis D. The few-body problem on a lattice. Rev. Mod. Phys., 1986, 58, P. 361–379.

2. Albeverio S., Lakaev S.N., Muminov Z.I. Schrödinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare´, 2004, 5, P. 743–772.

3. Albeverio S., Lakaev S.N., Makarov K.A., Muminov Z.I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices. Comm. Math. Phys., 2006, 262, P. 91–115.

4. Bach V., W.de Siqueira Pedra, Lakaev S.N. Bounds on the discrete spectrum of lattice Schrödinger operators. J. Math. Phys., 2017, 59(2), P. 022109.

5. Bloch I. Ultracold quantum gases in optical lattices. Nat. Phys., 2005, 1, P. 23–30.

6. Jaksch D., Bruder C., Cirac J., Gardiner C.W., Zoller P. Cold bosonic atoms in optical lattices. Phys. Rev. Lett., 1998, 81, P. 3108–3111.

7. Jaksch D., Zoller P. The cold atom Hubbard toolbox. Ann. Phys., 2005, 315, P. 52–79.

8. Lewenstein M., Sanpera A., Ahufinger V. Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating Quantum Many-body Systems. Oxford University Press, Oxford, 2012.

9. Ospelkaus C., Ospelkaus S., Humbert L., Ernst P., Sengstock K., Bongs K. Ultracold heteronuclear molecules in a 3d optical lattice. Phys. Rev. Lett., 2006, 97, P. 120402.

10. P.A.Faria Da Veiga, Ioriatti L., O’Carroll M. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians. Phys. Rev. E, 2002, 66, P. 016130.

11. Efimov V.N. Weakly Bound States of Three Resonantly Interacting Particles. Yad. Fiz., 1970, 12, P. 1080 [Sov. J. Nucl. Phys., 1970, 12, P. 589].

12. Ovchinnikov Y.N., Sigal I.N. Number of bound states of three-body systems and Efimov’s effect. Ann. Phys., 1979, 123(2), P. 274–295.

13. Sobolev A.V. The Efimov effect. Discrete spectrum asymptotics. Commun. Math. Phys., 1993, 156(1), P. 101–126.

14. Tamura H. The Efimov effect of three-body Schrödinger operators. J. Funct. Anal., 1991, 95(2), P. 433–459.

15. Yafaev D.R. On the theory of the discrete spectrum of the three-particle Schrödinger operator. Mat. Sb., 1974, 94(136), P. 567–593.

16. Hiroshima F., Muminov Z., Kuljanov U. Threshold of discrete Schrödinger operators with delta-potentials on n-dimensional lattice. Linear and Multilinear Algebra, 2020.

17. Lakaev S.N., O¨ zdemir E. The existence and location of eigenvalues of the one particle Hamiltonians on lattices. Hacettepe J. Math. Stat., 2016, 45, P. 1693–1703.

18. Motovilov A.K., Sandhas W., Belyaev V.B. Perturbation of a lattice spectral band by a nearby resonance. J. Math. Phys., 2001, 42, P. 2490–2506.

19. Faddeev L.D., Merkuriev S.P. Quantum Scattering Theory for Several Particle Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993.

20. Winkler K., Thalhammer G.,Lang F., Grimm R., Denschlag J.H., Daley A.J., Kantian A., Bu¨chler H.P., Zoller P. Repulsively bound atom pairs in an optical lattice. Nature, 2006, 441, P. 853–856.

21. Mogilner A.I. The problem of a few quasi-particles in solid-state physics. In: Applications of Self-Adjoint Extensions in Quantum Physics, 1989.

22. Minlos R.A., Mogilner A.I. Some problems concerning spectra of lattice models. In: Schrödinger Operators: Standard and Nonstandard, 1989.

23. Bagmutov A.S., Popov I.Y. Window-coupled nanolayers: window shape influence on one-particle and two-particle eigenstates. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2020, 11(6), P. 636–641.

24. Dell’Antonio G., Muminov Z.I., Shermatova V.M. On the number of eigenvalues of a model operator related to a system of three particles on lattices. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2011, 44, P. 315302.

25. Muminov M.I., Khurramov A.M., Bozorov I.N. On eigenvalues and virtual levels of a two-particle Hamiltonian on a d-dimensional lattice. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2023, 14(3), P. 295–303.

26. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. III: Scattering Theory. Academic Press, 1978.

27. Lakaev S.N., Akhmadova M.O. The number and location of eigenvalues for the two-particle Schrödinger operators on lattices. Complex Anal. Oper. Theory, 2023, 17.

28. Lippmann B.A., Schwinger J. Variational principles for scattering processes. I. Phys. Rev., 1950, 79, P. 469.

29. Boltaev A.T.,Almuratov F.M. The Existence and Asymptotics of Eigenvalues of Schrödinger Operator on Two Dimensional Lattices. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022, 43, P. 3460–3470.

30. Akhmadova M.O.,Azizova M.A. Spectral analysis of two-particle Hamiltonians with short-range interactions. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2025, 16(5), P. 577–585.

31. Kurbanov S.K.,Abduvayitov S.S. The Discrete Spectrum of the Generalized Friedrichs Model with a Rank-Two Perturbation. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2025, 46, P. 713–723.

32. Lakaev S.N., Latipova D.A., Akhmadova M.O. On the existence of the maximum number of isolated eigenvalues for a lattice Schrödinger operator. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2025, 16(6), P. 737–748

33. Lakaev S.N., Motovilov A.K., Akhmadova M.O. A Two-Boson 2D Lattice Hamiltonian with Interactions up to Next-to-Neighboring Sites. Lobachevskii J. Math., 2025, 46, P. 4274–4292.