Двухфермионные решёточные операторы Шрёдингера с взаимодействиями между ближайшими и вторыми ближайшими узлами

Мы исследуем операторы Шрёдингера H_λµ(K), ассоциированные с двухфермионной системой на трёхмерной решётке T³ при фиксированном полном квазиимпульсе K ∈ T³, где частицы взаимодействуют посредством связей с ближайшими и вторыми ближайшими узлами с константами взаимодействия λ, µ ∈ R. Для случая K = 0 установлено, что оператор H_λµ(0) допускает приведённое инвариантное подпространство, ограничение на которое зависит только от параметра µ ∈ R. Показано, что µ-параметрическая прямая содержит две критические точки, соответствующие нижнему и верхнему порогам спектра; в каждой из этих точек определитель Фредгольма приведённого оператора обращается в нуль. Каждая из критических точек разбивает параметрическую прямую на два бесконечных интервала, на которых число собственных значений, расположенных ниже (соответственно, выше) существенного спектра, остаётся постоянным. В зависимости от значения параметра µ соответствующий приведённый оператор имеет ровно одно дискретное собственное значение, расположенное либо ниже нижней границы, либо выше верхней границы существенного спектра. Кроме того, получена нижняя оценка на число дискретных собственных значений оператора  H_λµ(K) для всех K ∈ T³.

1. Kholmatov Sh.Yu., Lakaev S.N., Almuratov F. Bound states of discrete Schrodinger operators on one and two dimensional lattices. ¨ J. Math. Anal. Appl., 2021, 503(1), P. 125280.

2. Lakaev S.N., Ozdemir E. The existence and location of eigenvalues of the one particle Hamiltonians on lattices. ¨ Hacettepe J. Math. Stat., 2016, 45, P. 1693–1703.

3. Lakaev S.N., Bozorov I.N. The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a three-dimensional lattice. Theoret. and Math. Phys., 2009, 158, P. 360–376.

4. Albeverio S., Lakaev S.N., Makarov K.A., Muminov Z.I. The Threshold Effects for the Two-particle Hamiltonians on Lattices. Communications in Mathematical Physics, 2006, 262, P. 91–115.

5. Faria Da Veiga P.A., Ioriatti L., O’Carroll M. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrodinger Hamiltonians. ¨ Physical Review E, 2002, 66, P. 016130.

6. Lakaev S.N., Abdukhakimov S.Kh. Threshold effects in a two-fermion system on an optical lattice. Theoret. and Math. Phys., 2020, 203(2), P. 251–268.

7. Lakaev S.N., Kholmatov Sh.Yu., Khamidov Sh.I. Bose-Hubbard model with on-site and nearest-neighbor interactions, exactly solvable case. J. Phys. A: Math. Theor., 2021, 54, P. 245201.

8. Albeverio S., Lakaev S.N., Muminov Z.I. Schrodinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. ¨ Ann. Henri Poincare´, 2004, 5(4), P. 743–772.

9. Albeverio S., Lakaev S.N., Khalkhujaev A.M. Number of Eigenvalues of the Three-Particle Schrodinger Operators on Lattices, Markov Process. Relat. Fields., 2012, 18, P. 387–420.

10. Bach V., de Siqueira Pedra W., Lakaev S.N. Bounds on the discrete spectrum of lattice Schrodinger operators. ¨ Journal of Mathematical Physics, 2017, 59(2), P. 022109.

11. Lakaev S.N. The Efimov’s effect of the three identical quantum particle on a lattice. Funct. Anal. Appl., 1993, 27, P 15–28.

12. Lakaev S.N., Dell’Antonio G., Khalkhuzhaev A. Existence of an isolated band in a system of three particles in an optical lattice. J. Phys. A: Math. Theor., 2016, 49(52), P. 15.

13. Lakaev S.N., Lakaev Sh.S. The existence of bound states in a system of three particles in an optical lattice. J.Phys. A: Math. Theor., 2017, 50, P. 335202.

14. Muminov Z.I., Aktamova V.U. The point spectrum of the three-particle Schrodinger operator for a system comprising two identical bosons and ¨ one fermion on Z. Nanosystems: Phys.Chem.Math., 2024, 15, P. 438–447.

15. Faddeev L.D., Merkuriev S.P. Quantum Scattering Theory for Several Particle Systems, Kluwer Academic Publishers, Petersburg, 1993.

16. Lakaev S.N., Motovilov A.K., Abdukhakimov S.Kh. Two-fermion lattice Hamiltonian with first and second nearest-neighboring-site interactions. J. Phys. A: Math., 2023, 56, P. 315202.

17. Akhmadova M.O., Azizova M.A. Spectral analysis of two-particle Hamiltonians with short-range interactions. Nanosystems: Phys. Chem.Math., 2025, 16(5), P. 577–585.

18. Lakaev S.N., Latipova D.A., Akhmadova M.O. On the existence of the maximum number of isolated eigenvalues for a lattice Schrodinger operator. ¨ Nanosystems: Phys. Chem.Math., 2025, 16(6), P. 737–748.