Критическое отношение масс и фазовый переход в трёхчастичных решёточных системах: сравнение бозонного и фермионного случаев

Мы изучаем трёхчастичные операторы Шрёдингера на двумерной решётке Z² и показываем, что критическое отношение масс γ_c ≈ 2.75194 определяет существование связанного тримера в фермионной 2+1 конфигурации (два тождественных фермиона и третья частица). При γ < γ_c имеется топологическое запрещение (подавление Паули) трёхчастичного связанного состояния, тогда как при γ < γ_c возникает дважды вырожденное собственное значение ниже существенного спектра с асимптотикой сильной связи z(γ, λ) = −λ+e₀(γ)+O(λ⁻¹). В рамках единого подхода, основанного на принципе Бирмана–Швингера и асимптотическом анализе в режиме сильной связи, мы сравниваем это поведение с бозонным случаем трёх тождественных частиц, где два связанных состояния существуют ниже существенного спектра и энергия основного состояния удовлетворяет z₁^s(µ) = −3µ + C₂ + O(µ⁻¹). Возникающий фазовый переход второго рода по отношению масс  важен для планирования экспериментов по фермионным тримерам в оптических решётках и для моделирования экситонных комплексов и дефектно-связанных состояний в двумерных наноматериалах, где критическое значение γ_c служит ориентиром для наблюдаемости трёхчастичных связанных состояний. Мы также намечаем модифицированную трёхчастичную решёточную модель с двумя конкурирующими каналами взаимодействия, для которой анализ Бирмана–Швингера естественным образом приводит к сценарию Ландау фазового перехода первого рода в пространстве тримерных связанных состояний. В бозонном случае мы доказываем теорему о сильной связи, описывающую существование и асимптотику тримерных связанных состояний, а в фермионном 2+1 случае устанавливаем теорему о спектральном фазовом переходе, которая даёт явное критическое отношение масс γ_c, разделяющее тримерный и бестримерный режимы.

1. Bloch I., Dalibard J., Zwerger W. Many-body physics with ultracold gases. Rev. Mod. Phys., 2008, 80(3), P. 885–964.

2. Gross C., Bloch I. Quantum simulations with ultracold atoms in optical lattices. Science, 2017, 357(6355), P. 995–1001.

3. Atabaev B.G., Chepurnov V.I., Arutyunov N.Yu., Dolgopolov M.V., Juraev Kh.N., Radzhapov S.A. Rapid 3D defect mapping in SiC betavoltaics via positron annihilation tomography. Physica Status Solidi (RRL) - Rapid Research Letters, 2026, 20(1), e202500356.

4. Abdullaev Zh.I. Finiteness of discrete spectra for nontrivial values of the full quasi-momentum in the system of three bosons on a lattice. Russian Math. Surveys, 2007, 62(1), P. 175—177.

5. Lakaev S.N., Khalmukhamedov A.R., Khalkhuzhaev A.M. Bound states of the Schrodinger operator of a system of three bosons on a lattice. ¨ Theoret. Math. Phys., 2016, 188(1), P. 36–48.

6. Muminov Z.I., Aktamova V.U. The point spectrum of the three-particle Schrodinger operator for a system comprising two identical bosons and ¨ one fermion on Z. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2024, 15(4), P. 438–447.

7. Lakaev S.N., Latipova D.A., Akhmadova M.O. On the existence of the maximum number of isolated eigenvalues for a lattice Schrodinger operator. ¨ Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2025, 16(6), P. 737–748.

8. Khalkhuzhaev A.M., Khayitova Kh.G., Khujamiyorov I.A. On the spectrum of the Schrodinger operator for a three-particle system on a lattice. ¨ Uch. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, (2025), 167(3), P. 547–565.

9. Birman M.Sh. On the spectrum of singular boundary-value problems. Mat. Sb., 1961, 55(97)(2), P. 125–174.

10. Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case. Ann. Phys., 1980, 130(2), P. 251–281.

11. Abdullaev J.I., Khalkhuzhaev A.M., Usmonov L.S. Monotonicity of the eigenvalues of the two-particle Schrodinger operator on a lattice. ¨ Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2021, 12(6), P. 657–663.

12. Abdullaev J.I., Ergashova S.H. Discrete Spectrum of the Schrodinger Operator of a System of Three Fermions on a One Dimensional Lattice. ¨ Complex Anal. Oper. Theory, 2025, 19(6), P. 136.

13. Landau L.D. On the theory of phase transitions. In: Collected Papers of L. D. Landau. Ed. by D. ter Haar. Pergamon Press, Oxford, Gordon & Breach, 1965, P. 193–216.

14. Landau L.D., Lifshitz E.M. Statistical Physics. Part 1. Course of Theoretical Physics, Vol. 5. Pergamon Press, 1980.

15. Niggas A., Hao M., Richter P., Simperl F., Blodorn F., Cap M., Kero J., Hofmann D., Bellissimo A., Burgd ¨ orfer J., Seyller T., Wilhelm R.A., ¨ Libisch F., Werner W.S.M. Identifying Electronic Doorway States in Secondary Electron Emission from Layered Materials. Phys. Rev. Lett., 2025, 135(16), 166401.

16. Dolgopolov M.V., Chipura A.S. Negative isotopic shift of the LO phonon in 3C-SiC: A universal mechanism of mass effect dominance in cubic crystals. JETP Lett., 2025, 122(8), P. 500–506.