Пороговые резонансы и дискретный спектр двухбозонного гамильтониана с молекулярным каналом на одномерной решетке

Мы изучаем двухканальный решеточный гамильтониан в секторе с фиксированным числом частиц на одномерной решетке Z. Модель состоит из молекулярного канала, связанного с бозонным двухчастичным каналом с внутриузловым взаимодействием. В импульсном представлении трансляционная инвариантность дает семейство редуцированных гамильтонианов H_γ,λ(K), параметризованных полным квазиимпульсом K∈T, каждый из которых действует в C⊕L^2,e(T). Для контактных взаимодействий каждый редуцированный гамильтониан является возмущением второго ранга свободного диагонального оператора. С помощью метода Липпмана–Швингера задача на собственные значения для энергий вне существенного спектра [Ԑ^-_K, Ԑ⁺_K] сводится к линейной системе 2×2 и, эквивалентно, к обращению в нуль точного скалярного детерминанта Фредгольма, включающего одномерную решеточную функцию Грина. Сингулярности квадратного корня этой функции Грина на краях зоны Ԑ^-_K, Ԑ⁺_K определяют пороговую асимптотику определителя и приводят к явным критериям существования собственных значений ниже нижнего порога и выше верхнего порога. Мы получаем полную классификацию дискретного спектра H_γ,λ(K) для всех квазиимпульсов в терминах параметров γ, λ, E₀. Мы также анализируем пороговые конфигурации E₀=Ԑ⁺_K  , исключительную плоскую зону слоя K = π, где существенный спектр схлопывается в одну точку, и пороговые состояния вспомогательного оператора ранга один h_λ(K). Для последнего мы приводим описание пороговых резонансов во взвешенном пространстве, поясняя, как собственное значение возникает из порогового резонанса h_λ(K) и приближается к краю полосы, когда включается межканальная связь.

1. Mattis D.C. The few-body problem on a lattice, Rev. Mod. Phys., 1986, 58, P. 361–379.

2. Mogilner A.I. Hamiltonians in solid-state physics as multiparticle discrete Schro¨dinger operators: problems and results, Adv. Soviet Math., 1991, 5, P. 139–194.

3. Minlos R.A. The spectrum of the Hamiltonian of a system of three identical bosons on a lattice, Moscow Univ. Math. Bull., 1989, 44, P. 49–54.

4. Minlos R.A., Mogilner A.I. The point spectrum of a three-particle Hamiltonian on a lattice, Theoret. Math. Phys., 1991, 87, P. 382–391.

5. Mogilner A.I. On the spectrum of the Hamiltonian of a system of three identical bosons on a lattice, Funct. Anal. Appl., 1989, 23, P. 240–242.

6. Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Solvable Models in Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 1988.

7. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. IV: Analysis of Operators, Academic Press, New York, 1978.

8. Albeverio S., Lakaev S.N., Makarov K.A., Muminov Z.I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices, Comm. Math. Phys., 2006 , 262, P. 91–102.

9. Lakaev S.N., Akhmadova M.O. The number and location of eigenvalues for the two-particle Schro¨dinger operators on lattices, Complex Anal. Oper. Theory, 2023, 17.

10. Lakaev S.N., Bozorov I.N. The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a three-dimensional lattice. Theor. Math. Phys.,2009, 158, P. 360–376.

11. Lakaev S.N., Kholmatov Sh.Yu., Khamidov Sh.I. Bose–Hubbard model with on-site and nearest-neighbour interactions: exactly solvable case, J. Phys. A: Math. Theor, 2021, 54, 245201.

12. Faria Da Veiga P.A., Ioriatti L., O’Carroll M. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schro¨dinger Hamiltonians, Phys. Rev. E, 2002, 66, 016130.

13. Lakaev S.N. The Efimov’s effect of three identical quantum particles on a lattice, Funct. Anal. Appl., 1993, 27, P. 15–28.

14. Teschl G. Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, it Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 72, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

15. Yafaev D.R. A point interaction for the discrete Schro¨dinger operator and generalized Chebyshev polynomials. J. Math. Phys, 2017, 58, 063511.

16. Bloch I. Ultracold quantum gases in optical lattices, Nat. Phys., (2005), 1, P. 23–30.

17. Lippmann B.A., Schwinger J. Variational principles for scattering processes. I, Phys. Rev., 1950, 79, P. 469–486.

18. Simon B. Orthogonal Polynomials on the Unit Circle. Part 1: Classical Theory, American Mathematical Society Colloquium Publications,2005 Vol. 54, Part 1, American Mathematical Society, Providence, RI.

19. Simon B. Orthogonal Polynomials on the Unit Circle. Part 2: Spectral Theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 54, Part 2, American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.

20. Simon B. SzegHo’s Theorem and Its Descendants: Spectral Theory for L2 Perturbations of Orthogonal Polynomials, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011.

21. Damanik D., Hundertmark D., Killip R., Simon B. Variational estimates for discrete Schro¨dinger operators with potentials of indefinite sign. Commun. Math. Phys, 2003, 238, P. 545–562.

22. Lakaev S.N., Makarov K.A. Threshold virtual states of a Jacobi operator. arXiv:2604.04019 [math.SP].

23. Valiente M. Lattice two-body problem with arbitrary finite-range interactions. Phys. Rev. A, 2010, 81, 042102.

24. Yafaev D.R. The virtual level of the Schro¨dinger equation. J. Soviet Math, 1979 , 11, P. 501–510.

25. Bach V., de Siqueira Pedra W., Lakaev S.N. Bounds on the discrete spectrum of lattice Schro¨dinger operators. J. Math. Phys., 2018, 59, 022109.

26. Lakaev S.N., O¨ zdemir E. The existence and location of eigenvalues of the one-particle Hamiltonians on lattices, Hacettepe J. Math. Stat., 2016, 45, P. 1693–1703.

27. Akhmadova M.O., Azizova M.A. Spectral analysis of two-particle Hamiltonians with short-range interactions. Nanosystems: Phys. Chem.Math., 2025, 16 (5), P. 577–585.

28. Lakaev S.N., Latipova D.A., Akhmadova M.O. On the existence of the maximum number of isolated eigenvalues for a lattice Schro¨dinger operator. Nanosystems: Phys. Chem.Math., 2025, 16 (6), P. 737–748.