Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2025, 16 (2), 142–153
Extremality of Gibbs measures for the DNA-Ising molecule model on the Cayley tree
Nosirjon M. Khatamov – Namangan state university, Namangan; V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, Tashkent, Uzbekistan; nxatamov@mail.ru
Nematulla N. Malikov – Namangan state university, Namangan, Uzbekistan; malikovnematulla24@gmail.com
Corresponding author: N. M. Khatamov, nxatamov@mail.ru
PACS 517.98
DOI 10.17586/2220-8054-2025-16-2-142-153
ABSTRACT We examine a model of a DNA-Ising molecule on a Cayley tree of order k ≥ 2. For this model, we derive a system of functional equations, where each positive solution corresponds to a Gibbs measure. On the general order Cayley tree, we can solve the model exactly. Specifically, we can find the exact value of the critical temperature Tc for any k ≥ 2 so that, if T ≥ Tc, there is a unique translation-invariant Gibbs measure (TIGM), and if T < Tc, there are three TIGMs. We determine the model’s typical configurations and stationary distributions for high enough and low enough temperatures. The primary attention is focused on the systematic study of the structure of the set of the Gibbs measures. In this paper, we present a non-trivial adaptation of famous techniques, such as the Martinelli-Sinclair-Weitz criterion for determining the extremality of TIGMs and the Kesten-Stigum criterion for determining the non-extremality of TIGMs. One of the important contributions of this paper is the resolution of the extremality versus non-extremality regions for one of the TIGMs on a Cayley tree of the general order. For the other TIGMs, the extremality and non-extremality regions are determined on Cayley trees of orders up to 5.
KEYWORDS DNA, temperature, Cayley tree, Gibbs measure, translation-invariant measures, extreme of measure
ACKNOWLEDGEMENTS The authors express their gratitude to Academician U. A. Rozikov for his suggestions that contributed to improving the readability of the article. We thank the referee for the careful reading of the manuscript and especially for a number of suggestions that have improved the paper. The first author (NMKh) thanks the State Grant F-FA-2021-425 of the Republic of Uzbekistan for financial support.
FOR CITATION Khatamov N.M., Malikov N.N. Extremality of Gibbs measures for the DNA-Ising molecule model on the Cayley tree. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2025, 16 (2), 142–153.
[In Russian] Хатамов Носирджон Муйдинович, Маликов Нематулла Наимджан угли
Экстремальность мер Гиббса для модели молекулы ДНК-Изинга на дереве Кэли
АННОТАЦИЯ Мы рассматриваем модель молекулы ДНК-Изинга на дереве Кэли порядка k ≥ 2. Для этой модели мы выводим систему функциональных уравнений, где каждое положительное решение соответствует мере Гиббса. На дереве Кэли общего порядка мы можем решить модель точно. В частности, найдена точное значение критической температуры Tc для любого k ≥ 2 так, что если T ≥ Tc, то существует единственная трансляционно-инвариантная мера Гиббса (ТИМГ), а если T < Tc, то существует три ТИМГ. Мы определяем типичные конфигурации модели и стационарные распределения для достаточно высоких и достаточно низких температур. Основное внимание сосредоточено на систематическом изучении структуры множества мер Гиббса. В этой статье мы представляем нетривиальную адаптацию известных методов, таких как критерий Мартинелли-Синклера-Вейца для определения экстремальности ТИМГ и критерий Кестена-Стигума для определения не экстремальности ТИМГ. Одним из важных вкладов этой статьи является нахождение областей экстремальности и не экстремальности для одной из ТИМГ на дереве Кэли общего порядка. Для других ТИМГ области экстремальности и не экстремальности определяются на деревьях Кэли порядков до 5.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА ДНК, температура, дерево Кэли, мера Гиббса, трансляционно-инвариантные меры, экстремальность меры
