Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2024, 15 (5), 576–585
Translation-invariant Gibbs measures for the mixed spin-1/2 and spin-1 Ising model with an external field on a Cayley tree
Muzaffar M. Rahmatullaev – V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, 100174, Tashkent; New Uzbekistan University, 100000, Tashkent; Namangan state University, Namangan, Uzbekistan; mrahmatullaev@rambler.ru
Dilshod O. Egamov – V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, 100174, Tashkent; Namangan state University, Namangan, Uzbekistan; dilshodbekegamov87@gmail.com
Corresponding author: M. M. Rahmatullaev, mrahmatullaev@rambler.ru
PACS 82B23, 82B26, 60G70
DOI 10.17586/2220-8054-2024-15-5-576-585
ABSTRACT Phase transitions of the mixed spin-1/2 and spin-1 Ising model under the presence of an external field on the general order Cayley tree are investigated within the framework of the tree-indexed Markov chains. We find the conditions that ensure the existence of at least three translation-invariant Gibbs measures for the model on the Cayley tree of order k. We are able to solve the model exactly on the binary tree (k = 2) under the specific external field. The main attention is paid to the systematic study of the structure of the set of the Gibbs measures. We find the extremality and non-extremality regions of the disordered phase of the model on the binary tree.
KEYWORDS mixed-spin Ising model; external field; Cayley tree; Gibbs measures.
ACKNOWLEDGEMENTS We thank Professor F. M. Mukhamedov for his participation in discussions of the results. We also thank the anonymous referee for reading the manuscript carefully and for making valuable suggestions.
FOR CITATION Rahmatullaev M.M., Egamov D.O. Translation-invariant Gibbs measures for the mixed spin-1/2 and spin-1 Ising model with an external field on a Cayley tree. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2024, 15 (5), 576–585.
[In Russian] Музаффар. М. Рахматуллаев, Дилшод.О. Эгамов
Трансляционно-инвариантные меры Гиббса для смешанной модели Изинга со спинами 1/2 и 1 с внешним полем на дереве Кэли
АННОТАЦИЯ Фазовые переходы смешанной модели Изинга со спинами 1/2 и 1 при наличии внешнего поля на дереве Кэли произвольной степени исследуются в рамках древовидно-индексированных цепей Маркова. Получены условия, гарантирующие существование не менее трех трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели на дереве Кэли порядка k. Для модели на бинарном дереве (k=2) при определенном значении внешнего поля найдено точное решение. Основное внимание уделено анализу структуры множества мер Гиббса. Определены области экстремальности и неэкстремальности неупорядоченной фазы модели на бинарном дереве.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА модель Изинга со смешанным спином, внешнее поле, дерево Кэли, меры Гиббса.
